컴퓨터 그래픽이나 디자인, 혹은 수학 관련 글을 읽다가 거미줄처럼, 혹은 메마른 논바닥처럼 쩍쩍 갈라진 독특한 패턴을 보신 적 있나요? '보로노이 다이어그램(Voronoi Diagram)'이라는 낯선 이름에 "이건 또 무슨 어려운 이론일까" 싶어 지레 겁먹고 창을 닫으셨을지도 모릅니다.
결론부터 말씀드리겠습니다. 보로노이 다이어그램의 핵심 원리는 초등학생도 이해할 수 있을 만큼 아주 간단합니다. 바로, "어떤 점이 누구에게 가장 가까운가?"라는 질문에 대한 그림으로 된 대답입니다. 이 글에서는 복잡한 수식 하나 없이, 이야기처럼 보로노이 다이어그램의 최소한의 개념과 용어를 완벽하게 정리해 드리겠습니다.
가장 가까운 내 편 찾기, 보로노이의 핵심 원리
보로노이 다이어그램의 원리를 가장 쉽게 이해하는 방법은 '피자 가게 배달 구역'을 상상하는 것입니다. 지도 위에 여러 개의 피자 가게가 점으로 찍혀 있다고 해봅시다. 보로노이 다이어그램은 이 지도 위의 모든 집이 "어느 피자 가게에서 주문하는 것이 가장 가까운가?"를 기준으로 배달 구역을 나눠놓은 그림과 같습니다.
지도 위의 어떤 지점이든, 그곳에서 가장 가까운 피자 가게의 '영역' 안에 속하게 됩니다. 그리고 두 피자 가게의 정확히 중간 지점, 즉 배달 거리가 똑같아지는 지점들을 쭉 이으면 바로 배달 구역을 나누는 '경계선'이 만들어집니다. 이처럼 '가장 가까운 점'을 기준으로 공간을 나누는 것이 보로노이 다이어그램의 전부입니다.
가장 중요한 주인공, '씨앗(Site)'
이제부터 이 이야기의 주인공들을 소개해 드리겠습니다. 가장 먼저, 가장 중요한 주인공은 바로 '씨앗(Site)' 또는 '점(Point)'입니다. 위에서 예로 든 피자 가게, 혹은 학교나 경찰서, 휴대폰 기지국처럼 영역을 나누는 기준이 되는 중심점들을 바로 '씨앗'이라고 부릅니다.
모든 보로노이 다이어그램은 이 씨앗들을 평면 위에 먼저 뿌리는 것에서부터 시작됩니다. 이 씨앗이 없다면 영역도, 경계선도 만들어질 수 없습니다. 즉, "어디에 씨앗을 놓을 것인가?"가 전체 다이어그램의 모양을 결정하는 가장 핵심적인 첫 단계입니다.
나만의 땅, '세포(Cell)'와 '경계선(Edge)'
씨앗을 기준으로 나누어진 각각의 영역, 즉 피자 가게 하나의 배달 구역을 '세포(Cell)'라고 부릅니다. 이 세포 안의 모든 지점은 다른 어떤 씨앗보다도 자기 세포의 중심에 있는 씨앗에 더 가깝다는 특징을 가집니다. 즉, A 피자 가게의 '세포' 안에 있는 모든 집은 B나 C 피자 가게보다 A 피자 가게가 무조건 더 가깝다는 뜻입니다.
그리고 이 세포와 세포를 나누는 선을 '경계선(Edge)'이라고 합니다. 이 경계선은 아주 공평한 선입니다. 경계선 위의 어떤 지점이든, 그 선을 마주 보고 있는 양쪽의 두 씨앗까지의 거리가 정확하게 똑같습니다. A 가게와 B 가게의 배달 구역을 나누는 경계선 위에서는, 어느 가게에 전화해도 배달 거리가 같다는 의미입니다.
세 개의 땅이 만나는 곳, '꼭짓점(Vertex)'
지도를 자세히 보면, 여러 개의 경계선이 한 점에서 만나는 것을 볼 수 있습니다. 이렇게 3개 이상의 경계선이 만나는 지점을 '꼭짓점(Vertex)'이라고 부릅니다. 이 꼭짓점은 아주 특별한 위치입니다. 바로, 주변에 있는 3개의 씨앗으로부터 정확히 같은 거리에 떨어져 있는 유일한 지점이기 때문입니다.
피자 가게 비유를 다시 가져오자면, A, B, C 세 가게의 배달 구역이 만나는 '꼭짓점'에 사는 사람은, 세 가게 중 어느 곳에 주문해도 피자가 도착하는 시간이 이론적으로 똑같다는 재미있는 상상을 해볼 수 있습니다. 이처럼 꼭짓점은 3개의 영역이 만나는 아주 중요한 교차점입니다.
그래서 이걸 어디에 쓰나요? (실생활 속 보로노이)
이 신기한 그림은 단순히 수학적인 재미를 넘어, 우리 생활 곳곳에서 아주 유용하게 사용되고 있습니다. 당장 당신의 스마트폰이 가장 가까운 통신사 기지국을 찾는 데에도 이 원리가 숨어있고, 새로운 공공 도서관이나 소방서를 어디에 지어야 가장 많은 사람이 혜택을 볼 수 있을지 분석하는 데에도 사용됩니다.
또한, 컴퓨터 그래픽 분야에서는 자연스러운 패턴을 만드는 데 아주 유용하게 쓰입니다. 기린의 얼룩무늬나 잠자리의 날개맥, 혹은 가뭄에 갈라진 땅의 모양을 만들 때 보로노이 다이어그램을 활용하면 아주 사실적인 결과물을 얻을 수 있습니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q. 보로노이 다이어그램은 평면에서만 그릴 수 있나요?
A. 아닙니다. 2차원 평면뿐만 아니라 3차원 공간에서도 만들 수 있습니다. 예를 들어, 공간에 떠 있는 여러 개의 점을 기준으로 각 점의 '영역'을 입체적으로 나누는 것도 가능하며, 이는 천문학이나 재료 공학 같은 분야에서 활용됩니다.
Q. 씨앗의 위치를 옮기면 어떻게 되나요?
A. 다이어그램의 모양 전체가 완전히 바뀝니다. 씨앗들의 상대적인 위치에 따라 각 세포의 모양과 크기, 경계선의 위치가 결정되기 때문에, 씨앗 하나의 움직임이 전체 구조에 영향을 미치는 매우 동적인 다이어그램입니다.
Q. '델루니 삼각분할'은 보로노이랑 무슨 관계인가요?
A. '영혼의 단짝'이라고 생각하면 쉽습니다. 보로노이 다이어그램에서 서로 이웃한 세포(영역)를 가진 씨앗들끼리 선으로 모두 연결하면, '델루니 삼각분할'이라는 또 다른 중요한 그림이 만들어집니다. 이 둘은 항상 함께 따라다니는 중요한 개념입니다.
추가 정보 및 도움이 되는 자료
- 보로노이 다이어그램 그리는 법 - 자바실험실
2차원 평면 위의 여러 점을 기준으로 가장 가까운 영역을 나누는 보로노이 다이어그램 개념과 수직이등분선을 통한 경계 설정 방법을 자세히 설명합니다. - 보로노이 다이어그램 - 위키백과
보로노이 다이어그램의 공식 정의와 기본 원리, 관련 수학적 개념 및 다양한 응용 분야를 체계적으로 정리한 국내 대표 백과사전 설명입니다. - 보로노이 다이어그램 (PDF) - 동아사이언스
수학적 원리와 평면 분할 과정을 시각적으로 이해하기 쉽게 설명하며, 보로노이 다각형과 다이어그램의 기본 특성을 소개하는 신뢰할 수 있는 PDF 자료입니다. - 한눈에 쉽게 이해하는 보로노이 다이어그램의 모든 것 - Edraw
초보자도 쉽게 이해할 수 있도록 보로노이 다이어그램의 의미, 용어, 공간 구분 방식을 간단명료하게 해설한 실용적인 가이드입니다. - 보로노이 다이어그램 실생활 활용 / 삼각형의 외심의 성질 - YouTube
보로노이 다이어그램이 실생활에서 어떻게 활용되는지, 그리고 수학적 원리를 시각적 예시와 함께 쉽게 설명하는 국내 제작 영상입니다.